Question

【题目】 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（7，5），顶点A，C分别在x轴，y轴上，点D的坐标为（0，1），过点D的直线与矩形OABC的边BC交于点G，且点G不与点C重合，以DG为一边作菱形DEFG，点E在矩形OABC的边OA上，设直线DG的函数表达式为y=kx+b

（1）当CG=OD时，求直线DG的函数表达式；

（2）当点E的坐标为（5，0）时，求直线DG的函数表达式；

（3）连接BF，设△FBG的面积为S，CG的长为a，请直接写出S与a的函数表达式及自变量a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=4x+1；（2）y=x+1；（3）S=（7-a）（0＜a≤）

【解析】

（1）利用矩形的性质结合点B的坐标可得出点A，C的坐标，由点D的坐标结合CG=OD可得出点G的坐标，由点D，G的坐标，利用待定系数法即可求出直线DG的函数表达式；

（2）利用勾股定理可求出DE的长，由菱形的性质及勾股定理可求出CG的长，进而可得出点G的坐标，由点D，G的坐标，利用待定系数法即可求出直线DG的函数表达式；

（3）设DG交x轴于点P，过点F作FM⊥x轴于点M，延长MF交BC于点N，易证△DCG≌△FME（AAS），利用全等三角形的性质可得出FM的长度，进而可得出FN的长，再利用三角形的面积公式可得出S与a的函数表达式，结合点G不与点C重合及点E在OA上可求出a的取值范围，此题得解．

解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（7，5），点A，C分别在x轴，y轴上，

∴点C的坐标为（0，5），点A的坐标为（7，0）．

∵点D的坐标为（0，1），CG=OD，

∴点G的坐标为（1，5）．

将D（0，1），G（1，5）代入y=kx+b，得：

，

解得：，

∴当CG=OD时，直线DG的函数表达式为y=4x+1．

（2）在Rt△ODE中，OD=1，OE=5，∠DOE=90°，

∴DE==．

∵四边形DEFG为菱形，

∴DG=DE=．

在Rt△CDG中，DG=，CD=OC-OD=4，∠DCG=90°，

∴CG==，

∴点G的坐标为（，5）．

将D（0，1），G（，5）代入y=kx+b，得：

，

解得：，

∴当CG=OD时，直线DG的函数表达式为y=x+1．

（3）设DG交x轴于点P，过点F作FM⊥x轴于点M，延长MF交BC于点N，如图所示．

∵DG∥EF，

∴∠FEM=∠GPO．

∵BC∥OA，

∴∠DGC=∠GPO=∠FEM．

在△DCG和△FME中，

，

∴△DCG≌△FME（AAS），

∴FM=DC=4．

∵MN⊥x轴，

∴四边形OMNC为矩形，

∴MN=OC=5，FN=MN-FM=1．

∵CG的长为a，

∴BG=BC－CG=7－a

∴S=BGFN=（7-a）．

∵点E在边OA上，点G在BC边上，且点G不与点C重合，

∴DE≤=5，a＞0，

∴DG=≤5，

∴0＜a≤．

∴S与a的函数表达式为S=（7-a）（0＜a≤）．