Question

如图在⊙O中，AB为直径，BP为⊙O的弦，AC与BP的延长线交于点C，且BP=PC，PE⊥AC于E． 求证：PE是⊙O的切线．

Answer 1

分析：连接OP，AP，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AP垂直于BC，再由BP=CP，得到AP垂直平分BC，得到AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由OB=OP，利用等边对等角再得到一对角相等，可得出一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到OP与AC平行，利用与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直即可得到PE与OP垂直，即PE为圆O的切线，得证．

解答：证明：连接OP，AP，
∵AB为圆O的直径，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BP，
∵BP=CP，
∴AP垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OP，
∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C，
∴OP∥AC，
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP，
∴PE是圆O的切线．

点评：此题考查了切线的判定，涉及的知识有：圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．