Question

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=3，BC=4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC相似，则AD的长为___.

Answer 1

【答案】

【解析】

△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CF：CE=3：4，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；②若CE：CF=3：4，由相似三角形角之间的关系，可以推出∠B=∠ECD与∠A=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点．

若△CEF与△ABC相似，分两种情况：

①若CF：CE=3：4，
∵AC：BC=3：4，
∴CF：CE=AC：BC，
∴EF∥AB．
连接CD，如图1所示：

由折叠性质可知，CD⊥EF，

∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高。

在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB= =5，

∴cosA=，

∴AD=ACcosA=3×；

②若CE：CF=3：4，
∵AC：BC=3：4，∠C=∠C，

∵△CEF∽△CAB，

∴∠CEF=∠A．
连接CD，如图2所示：

由折叠性质可知,∠CEF+∠ECD=90°，

又∵∠A+∠B=90°，

∴∠B=∠ECD，
∴BD=CD．
同理可得：∠A=∠FCD，AD=CD，

∴D点为AB的中点，

∴AD=；

故答案为：