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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，3），C点在x轴的正半轴上，且到原点的距离为1．点P、Q分别从A、B两点同时出发，以相同的速度分别向x轴、y轴的正方向作匀速直线运动，直线PQ交直线AB于D．
    （1）求经过A、B、C三点的抛物线及直线AB解析式；
    （2）设AP的长为m，△PBQ的面积为S，求出S关于m的函数关系式．
    （3）作PE⊥AB于E，当P、Q运动时，线段DE的长是否改变？若改变请说明理由，若不改变，请求出DE的长；
    （4）有一个以AB为边的，且由两个与△AOB全等的三角形拼结而成的平行四边形ABST，试求出T点的坐标（画出图形，直接写出结果，不需求解过程）．
    分析：（1）先求出点C的坐标，然后设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），然后利用待定系数法求二次函数解析式解答，设直线AB的解析式为y=kx+n（k≠0），再利用待定系数法求一次函数解析式解答；
    （2）表示出OP，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
    （3）根据点A、B的坐标求出△AOB是等腰直角三角形，然后求出∠OAB=∠OBA=45°，过点Q作QF⊥AB交AB的延长线于F，根据对顶角相等可得∠QFB=45°，从而得到∠QBF=∠PAE，然后利用“角角边”证明△APE和△BQF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，PE=QF，再利用“角角边”证明△DEP和△DFQ全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，整理即可得到DE=
    1
    2
    AB；
    （4）分AO、BO是平行四边形的边两种情况作出图形，再根据平行四边形的对边平行且相等解答．
    解答：解：（1）由题意得，C（1，0），
    设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
    则
    9a-3b+c=0
    c=3
    a+b+c=0
    ，
    解得
    a=-1
    b=-2
    c=3
    ，
    ∴设抛物线解析式为y=-x2-2x+3，
    设直线AB的解析式为y=kx+n（k≠0），
    则
    -3k+n=0
    n=3
    ，
    解得
    k=1
    n=3
    ，
    ∴直线AB的解析式为y=x+3；

    （2）∵AP的长为m，点P、Q的速度相同，
    ∴OP=3-m，AP=QB=m，
    ∴△PBQ的面积为S=
    1
    2
    QB•OP=
    1
    2
    m（3-m）=-
    1
    2
    m2+
    3
    2
    m，
    故S关于m的函数关系式为：S=-
    1
    2
    m2+
    3
    2
    m；

    （3）∵A（-3，0）、B（0，3），
    ∴OA=OB=3，
    ∴△AOB是等腰直角三角形，
    ∴∠OAB=∠OBA=45°，
    过点Q作QF⊥AB交AB的延长线于F，
    则∠QFB=∠ABO=45°，
    ∴∠QBF=∠PAE，
    在△APE和△BQF中，
    ∠QBF=∠PAE
    ∠AEP=∠F=90°
    AP=QB
    ，
    ∴△APE≌△BQF（AAS），
    ∴AE=BF，PE=QF，
    在△DEP和△DFQ中，
    ∠AEP=∠F=90°
    ∠PDE=∠QDF
    PE=QF
    ，
    ∴△DEP≌△DFQ（AAS），
    ∴DE=DF，
    ∵AB=AE+DE+DB=BF+DE+DB=2DE，
    ∴DE=
    1
    2
    AB，
    在Rt△AOB中，AB=
    		OA2+OB2
    =
    		32+32
    =3
    		2
    ，
    ∴DE=
    3
    		2
    2
    ；


    （4）如图，AO是平行四边形的边时，点T与坐标原点重合，所以，点T的坐标是（0，0），
    BO是平行四边形的边时，AT=OB=3，所以，点T的坐标是（-3，-3）．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式和一次函数解析式），三角形的面积，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，难点在于（3）作辅助线构造出全等三角形．
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    		5
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    （2）设点A横坐标为m，△ABO面积为S，求S与m的函数关系式，并求出自变量的取值范围．

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    8-2
    		2
    和8+2
    		2
    8-2
    		2
    和8+2
    		2
    ．

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