Question

9．已知直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b经过R（2$\sqrt{3}$，4）
（1）求直线l解析式；
（2）如图1，设直线l交x轴，y轴于A、B两点，点C为x轴正半轴上一动点，以BC为边作等边△BCD，E为AB中点，连接DE交y轴于点F，试问OF的长度是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变化，求出其值；
（3）在（2）条件下，如图2，若G（a，-1），H（a+$\sqrt{3}$，-1）．当a为何值时，四边形ERHG的周长最小？

Answer 1

分析 （1）直接把R点坐标代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b中求出b即可；
（2）如图1，先求出B（0，2），A（-2$\sqrt{3}$，0），则利用三角函数可求出∠ABO=60°，则AB=2OB=4，所以BE=2，再证明△DBE≌△CBO得到∠DEB=∠COB=90°，然后在Rt△FEB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BF=2BE=4，则OF=BF-BO=2，即OF的长度不发生变化；
（3）由G（a，-1），H（a+$\sqrt{3}$，-1）得到点G、H在直线y=-1上，且HG=a+$\sqrt{3}$-a=$\sqrt{3}$，过点E作EM∥x轴，且EM=$\sqrt{3}$，作M点关于y=-1的对称点N，连结RN交直线y=-1于H，连结EG，如图2，则可判断四边形EMHG为平行四边形，得到EG=MH，利用两点之间线段最短说明此时EG+HR最小，而ER和GH为定值，于是判断此时四边形ERHG的周长最小，接着表示出E（-$\sqrt{3}$，1），M（0，1），N（0，-3），然后利用待定系数法求出直线RN的解析式为y=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$x-3，则利用一次函数图象上点的坐标特征确定H（$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，-1），所以a+$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，易得a=-$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．

解答 解：（1）把R（2$\sqrt{3}$，4）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b得$\frac{\sqrt{3}}{3}$•2$\sqrt{3}$+b=4，解得b=2，
所以直线l解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2；
（2）OF的长度不发生变化．
如图1，当x=0时，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2=2，则B（0，2），
当y=0时，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2=0，解得x=-2$\sqrt{3}$，则A（-2$\sqrt{3}$，0），
在Rt△AOB中，∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=60°，
∴AB=2OB=4，
∵E为AB中点，
∴BE=2，
∵△CBD为等边三角形，
∴BD=BC，∠CBD=60°，
∴∠ABO-∠DBO=∠CBD-∠DBO，即∠EBD=∠OBC
在△DBE和△CBO中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BC}\\{∠EBD=∠OBC}\\{BE=BO}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CBO，
∴∠DEB=∠COB=90°，
在Rt△FEB中，∵∠EBF=60°，
∴∠BFE=30°，
∴BF=2BE=4，
∴OF=BF-BO=4-2=2，
即OF的长度不发生变化；
（3）∵G（a，-1），H（a+$\sqrt{3}$，-1），
∴点G、H在直线y=-1上，且HG=a+$\sqrt{3}$-a=$\sqrt{3}$，
过点E作EM∥x轴，且EM=$\sqrt{3}$，作M点关于y=-1的对称点N，连结RN交直线y=-1于H，连结EG，如图2，
∵EM∥GH，EM=GH，
∴四边形EMHG为平行四边形，
∴EG=MH，
∵M点与N点关于直线y=-1对称，
∴HN=HE，
∴EG+HR=MH+HR=HN+HR=NR，
∴此时EG+HR最小，而ER和GH为定值，
∴此时四边形ERHG的周长最小，
∵E（-$\sqrt{3}$，1），
而EM=$\sqrt{3}$，
∴M（0，1），
∴N（0，-3），
设直线RN的解析式为y=mx+n，
把R（2$\sqrt{3}$，4），N（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}m+n=4}\\{n=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{7\sqrt{3}}{6}}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直线RN的解析式为y=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$x-3，
当y=-1时，$\frac{7\sqrt{3}}{6}$x-3=-1，解得x=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴H（$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，-1），
∴a+$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴a=-$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，
即a=-$\frac{3\sqrt{3}}{7}$时，四边形ERHG的周长最小．

点评 本题考查了一次函数综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征和等边三角形的性质；会利用三角形全等的知识解决角度相等的问题；学会解决最短路径问题．