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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从C点出发，沿着CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
    （1）设四边形PCQD面积为y，求y与t的函数关系式；
    （2）t为何值时，△PCQ与△ABC相似；
    （3）如图2，以C点为原点，边CB、CA所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，当PD∥AB时，求点D的坐标．

    【答案】分析：（1）根据折叠的性质可知：四边形PCQD的面积是△PCQ面积的2倍，因此只要求出△PCQ的面积即可得出四边形PCQD的面积．可根据P、Q的速度用时间t表示出PC和CQ的长，然后根据三角形的面积公式即可得出△PCQ的面积表达式，也就能求出y，t的函数关系式；
    （2）分两种情况考虑：△PCQ∽△ACB与△PCQ∽△BCA，根据相似得出比例式，把CP=12-3t，CQ=4t，AC=12及BC=16分别代入即可求出相应的时间t的值；
    （3）若PD∥AB，延长PD交BC于点M．在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AB=20；易证明Rt△QMD∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例求得QM=t，再由CQ+QM表示出CM，由PD与AB平行，根据两直线平行得到两对同位角相等，从而得出三角形PCM与三角形ABC相似，由相似得比例，把CM，CP，CA及CB的长代入列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而确定出CP，PD及CQ的长，进而确定出PM的长，得出DM的长，过D作x轴的垂直交x轴于N，由DM与AB平行得出两对同位角相等，可得三角形DMN与三角形ABC相似，根据相似得比例，可求出MN及DN的长，进而得出CN的长，得出点D的坐标．
    解答：解：（1）由题意知CQ=4t，PC=12-3t
    ∴S△PCQ=PC•CQ=-6t2+24t
    ∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称
    ∴y=2S△PCQ=-12t2+48t；

    （2）若△PCQ∽△ACB，
    ∴=，即，
    解得：t=2；
    若△PCQ∽△BCA，
    ∴=，即，
    解得：t=1.44，
    综上，t为2秒或1.44秒时，△PCQ与△ABC相似；

    （3）设某一时刻t，PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图，
    若PD∥AB，则∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
    ∴Rt△QMD∽Rt△ABC
    从而 ，
    ∵QD=CQ=4t，AC=12，
    AB==20，
    ∴QM=，
    ∵PD∥AB，
    ∴∠CPM=∠A，∠PMC=∠B，
    ∴△PCM∽△ACB，
    ∴，即，
    解得t=，
    则PC=PD=12-3t=，CQ=4t=，
    ∴，即=，
    解得：DM=，
    又∵DM∥AB，
    ∴∠DMN=∠B，
    又∵∠DNM=∠C=90°，
    ∴△DNM∽△ACB，
    ∴，即==，
    解得：DN=，MN=，
    又∵CM=4t+t=，
    则CN=CM-MN=．
    所以D的坐标为（，）．
    点评：此题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，本题是一道动态几何题，综合性较强，区分度较大，有一定的难度．锻炼了学生利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力，同时运用的数学思想主要是数学建模思想．本题的第三问计算量比较大，其中确定出PD∥AB时t的值是解题的关键．
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    如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
    		2
    ，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．
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    （1）求等腰梯形DEFG的面积；
    （2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
    探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；
    探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

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    如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．
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    （1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；
    （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
    （3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=
    1
    4
    x2-6    与直线y=
    1
    2
    x    相交于A，B两点．
    （1）求线段AB的长；
    （2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少；
    （3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式
    1
    OC2
    +
    1
    OD2
    =
    1
    OM2
    是否成立；
    （4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC=a，AC=b，AB=c．CD=b，试说明：
    1
    a2
    +
    1
    b2
    =
    1
    h2
    ．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC为底边向△ABC的外侧作等腰△ABD和ACE，且AD⊥AC，AB⊥AE，DE和AB相交于F．试探究线段FD、FE的数量关系，并加以证明．
    说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，可以从图2、3中选取一个，并分别补充条件∠CAB=45°、∠CAB=30°后，再完成你的证明．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD为AC边的中线，AB1⊥BD交BC于B1，B1A1⊥AC于A1．精英家教网
    （1）求AA1的长；
    （2）如图2，在Rt△A1B1C中按上述操作，则AA2的长为
     
    ；
    （3）在Rt△A2B2C中按上述操作，则AA3的长为
     
    ；
    （4）一直按上述操作得到Rt△An-1Bn-1C，则AAn的长为
     
    ．

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