Question

【题目】已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AE＝6，BF＝8，平行四边形ABCD的面积是36，求AD的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）

【解析】

（1）由平行四边形的性质和角平分线的性质可证BA＝BE＝AF，即可证四边形ABEF是菱形；

（2）由菱形的性质和勾股定理可求BE＝5，由菱形的面积公式可求AH＝，由平行四边形的面积公式可求AD的长．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵∠BAD的平分线交BC于点E，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴BA＝BE，

同理：AB＝AF

∴AF＝BE，

又∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB＝AF，

∴四边形ABEF是菱形

（2）如图，过A作AH⊥BE，

∵四边形ABEF是菱形，

∴AO＝EO＝AE＝3，BO＝FO＝BF＝4，AE⊥BF，

∴BE＝＝5，

∵S菱形ABEF＝AEBF＝×6×8＝24，

∴BEAH＝24，

∴AH＝ ，

∴S平行四边形ABCD＝AD×AH＝36，

∴AD＝ ．