精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,已知点A,B分别在x轴和y轴上,且OA=OB=3
2
,点C的坐标是C(
7
2
2
7
2
2
)AB与OC相交于点G.点P从O出发以每秒1个单位的速度从O运动到C,过P作直线EF∥AB分别交OA,OB或BC,AC于E,F.解答下列问题:
(1)直接写出点G的坐标和直线AB的解析式.
(2)若点P运动的时间为t,直线EF在四边形OACB内扫过的面积为s,请求出s与t的函数关系式;并求出当t为何值时,直线EF平分四边形OACB的面积.
(3)设线段OC的中点为Q,P运动的时间为t,求当t为何值时,△EFQ为直角三角形.
分析:(1)根据AB与OC相交于点G,以及C点横纵坐标相等得出G点为AB中点,即可得出答案,再利用A,B两点坐标得出解析式即可;
(2)分别根据当0<t≤3时,当3<t≤7时,利用相似三角形的性质得出s与t的关系式即可;
(3)利用①当P在线段OQ上,且∠EQF=90°时,以及②当P在线段CQ上,且∠EQF=90°时,利用相似三角形的性质得出即可.
解答:解:(1)G点的坐标是G(
3
2
2
3
2
2
),
∵OA=OB=3
2
,得出A,B两点坐标分别为:(3
2
,0),(0,3
2
),
设直线AB的解析式为y=kx+b,则
0=3
2
k+b
b=3
2

解得:
k=-1
b=3
2

故直线AB的解析式为:y=-x+3
2


(2)∵C的坐标是C(
7
2
2
7
2
2
),
∴OC是∠AOB的角平分线,OC=
(
7
2
2
)2+(
7
2
2
)
2
=7,
又∵OA=OB=3
2

∴AB=
(3
2
)2+(3
2
)2
=6,
∴∠BAO=∠ABO=∠BOG=∠AOG=45°,
∴∠AGO=90°,即AB⊥OC,
∴OG=3.
①当0<t≤3时,OP=t,
∵EF∥AB,
∴EF⊥OC,
∴EF=2OP=2t,
∴S=S△OEF=
1
2
•EF•OP=
1
2
•2t•t=t2
②当3<t≤7时,设EF与AC交于G′,与BC交于H,
OP=t,CP=7-t,CG=7-OG=7-3=4,
∵EF∥AB,
∴△CHG′∽△CBA,
HG′
BA
=
CP
CG

HG′
6
=
7-t
4

∴HG′=
3
2
(7-t),
∴S=S四边形OACB-S△CHG′=
1
2
•AB•CO-
1
2
HG′•CP
=
1
2
×6×7-
1
2
×
3
2
(7-t)(7-t)
=-
3
4
t2+
21
2
t-
63
4

∴s与t的函数关系式是:
S=
t2(0<t≤3)
-
3
4
t2+
21
2
t-
63
4
(3<t≤7)

当直线EF平分四边形OABC的面积时有:-
3
4
t2+
21
2
t-
63
4
=
1
2
×
1
2
×6×7,
整理得:t2-14t+35=0,
解得:x1=7+
14
>7(不符合题意舍去),x2=7-
14

故当t=7-
14
时,直线EF平分四边形OABC的面积;

(3)①如图1,当P在线段OQ上,且∠EQF=90°时,
∵EF∥AB,
∴∠OEF=∠OAB=∠OBA=∠OFE=45°,
∴OE=OF,
又∵∠FOG=∠EOG=45°,OQ=OQ,
∴△OEQ≌△OFQ,
∴∠FQO=∠EQO=45°,
∴∠OFQ=∠FOE=∠FQE=90°,
∴四边形OEQF是正方形,
∴OP=
1
2
OQ=
1
2
×
7
2
=
7
4

即t=
7
4
时,△EFQ为直角三角形,
②如图2,当P在线段CQ上,且∠EQF=90°时,
同理可证:△CQF≌△CQE,
∴△QEF是等腰直角三角形,
∴EF=2PQ=2(t-
7
2
),
∵EF∥AB,
∴△CEF∽△CBA,
EF
BA
=
CP
CG

2(t-
7
2
)
6
=
7-t
4

解得:t=5,
故当t=
7
4
或t=5时,△EFQ为直角三角形.
点评:此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的性质与判定,利用相似三角形的性质得出对应边之间关系得出t的值是解题关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

18、如图,已知点M、N分别是△ABC的边BC、AC的中点,点P是点A关于点M的对称点,点Q是点B关于点N的对称点,求证:P、C、Q三点在同一条直线上.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知点M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点,求证:∠DAN=∠BCM.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

21、如图,已知点E、F分别是菱形ABCD的边AB、AD上,BE=DF,
求证:AE=AF.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•金山区二模)如图,已知点D,E分别是边AC和AB的中点,设
BO
=
a
OC
=
b
,那么
ED
=
a
+
b
2
a
+
b
2
(用
a
b
来表示)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知点E、F分别是AC、AB的中点,其中△AFE的面积为2,则△EFG的面积为
2
3
2
3

查看答案和解析>>

同步练习册答案