Question

3．二次函数y=ax²+bx+c  的图象与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C，其顶点D的坐标为（-3，2）．
（1）求这二次函数的关系式；
（2）求△BCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的顶点D和函数图象过点A可以求得此二次函数的解析式；
（2）根据题意可以求得点B和C的坐标，从而可以求得直线BC得解析式，进而求得DE的长度，从而可以求得△BCD的面积．

解答 解：（1）设这个二次函数的解析式为y=a（x+3）²+2，
∵点A（1，0）在此抛物线的图象上，
∴0=a（1+3）²+2，
解得，a=-$\frac{1}{8}$，
∴此二次函数的解析式为：y=$-\frac{1}{8}$（x+3）²+2；
（2）∵y=$-\frac{1}{8}$（x+3）²+2，
∴当x=0时，y=$\frac{7}{8}$，当y=0时，x=-7或x=1，
∴点B（-7，0），点C（0，$\frac{7}{8}$），
设过点B、C的直线得解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-7k+b=0}\\{b=\frac{7}{8}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{8}}\\{b=\frac{7}{8}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$，
当x=-3时，y=$\frac{1}{2}$，
∴点E（-3，$\frac{1}{2}$），
∴DE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴△BCD的面积是：$\frac{\frac{3}{2}×[-3-（-7）]}{2}+\frac{\frac{3}{2}×[0-（-3）]}{2}$=$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点坐标，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数与二次函数的性质解答．