Question

【题目】已知：在中，，点是的中点，点是边上一点．

（1）直线垂直于于点交于点(如图1)，求证；

（2）直线垂直于，垂足为交的延长线于点(如图2)．求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）先证出∠ACE＝∠CBG，再由ASA证明△ACE≌△CBG，得出对应边相等即可；
（2）先证出∠CEB＝∠CMA，再由AAS证明△BCE≌△ACM．

（1）∵点D是AB的中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°．
∴∠CAE＝∠BCG．
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG＋∠BCF＝90°．
又∠ACE＋∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG．
在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB．
∴AE＝CG．
（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA＋∠MCH＝90°，∠BEC＋∠MCH＝90°．
∴∠CMA＝∠BEC．
又∵AC＝BC，∠ACM＝∠CBE＝45°，
在△BCE和△CAM中

∴△BCE≌△CAM（AAS）．