【题目】我们给出如下定义：两个图形
和
，在上的任意一点
引出两条垂直的射线与相交于点
、
，如果
，我们就称、为点的垂等点，
、
为点的垂等线段，点为垂等射点．
(1)如图1，在平面直角坐标系
中，点
为
轴上的垂等射点，过
作轴的平行线
，则直线上的
为点的垂等点的是_______；
(2)如果一次函数图象过
，点为垂等射点的一个垂等点且另一个垂等点也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式；
(3)如图3，以点
为圆心，1为半径作
，垂等射点在上，垂等点在经过(3，0)，(0，3)的直线上，如果关于点的垂等线段始终存在，求垂等线段长的取值范围(画出图形直接写出答案即可)．
【答案】(1)
；(2)
或
；(3)
.
【解析】
(1)如图1，判断与点P构成等腰直角三角形的两个点即可得到结论；
(2)①如图2，当垂等点
直线
右侧时，先根据AAS证明
，进而可得
，进一步即可求出点N坐标，再根据待定系数法即可求出一次函数解析式；②如图3，当垂等点直线左侧时，同理可求；
(3)如图4，当点
在第一和第三象限的角平分线上且
时，取得最小或最大值，延长
交
于
，连接
，先用待定系数法求出直线
的解析式，再根据等腰直角三角形的性质求出PM的最小值和最大值，即得PM的范围．
解：(1)如图1，分别过
，
作
⊥x轴于
，
轴于
，
∴
，
∴
，
∴
，所以为点的垂等点，
故答案为：；
(2)①如图2，当垂等点在直线右侧时，作NF⊥x轴于点F，
依题意，可知
，
∵
，
∴
．
∴（AAS）．
∴．
∵
，∴
．
∵点在第一象限，∴
．
∴过点
、的一次函数表达式为；
②如图3，当垂等点直线左侧时，依题意同理可得
，
∴过点、的一次函数表达式为；
(3)如图4，当点在第一和第三象限的角平分线上且时，取得最小或最大值，
延长交于，连接，
∵
，∴直线的解析式为
，
当PM最小时，∵
，∴
，
∴的纵坐标为
，∴横坐标为
，
∴
，
同理可求得PM的最大值为
，
∴长的取值范围：．
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【题目】如图，
为
的直径，
，
为上一点，过点作的弦
，设
．
（1）若
时，求
、
的度数各是多少？
（2）当
时，是否存在正实数
，使弦最短？如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由；
（3）在（1）的条件下，且
，求弦的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，点D是抛物线在第一象限的点．
（1）当△ABD的面积为4时，
①求点D的坐标；
②联结OD，点M是抛物线上的点，且∠MDO＝∠BOD，求点M的坐标；
（2）直线BD、AD分别与y轴交于点E、F，那么OE+OF的值是否变化，请说明理由．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于
PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为_____．
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【题目】如图，在平面直角坐标系
中的第一象限内，反比例函数图象过点
和另一动点
．
(1)求此函数表达式；
(2)如果
，写出
的取值范围；
(3)直线
与坐标轴交于点
，如果
，直接写出点的坐标．
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【题目】绿色出行是对环境影响最小的出行方式，“共享单车”已成为北京的一道靓丽的风景线．某社会实践活动小
组为了了解“共享单车”的使用情况，对本校教师在3月6日至3月10日使用单车的情况进行了问卷调查，
以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）3月7日使用“共享单车”的教师人数为人，并请补全条形统计图；
（2）不同品牌的“共享单车”各具特色，社会实践活动小组针对有过使用“共享单车”经历的教师做了进一步调查，每位教师都按要求选择了一种自己喜欢的“共享单车”，统计结果如图，其中喜欢
的教师有36人，求喜欢
的教师的人数．
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【题目】某商场在“五一”促销活动中规定，顾客每消费100元就能获得一次中奖机会.为了活跃气氛.设计了两个抽奖方案：
方案一：转动转盘
一次，转出红色可领取一份奖品；
方案二：转动转盘
两次，两次都转出红色可领取一份奖品.（两个转盘都被平均分成3份）
（1）若转动一次转盘，求领取一份奖品的概率；
（2）如果你获得一次抽奖机会，你会选择哪个方案？请采用列表法或树状图说明理由.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交CD的延长线于点E，垂足为点E，直径AB与CE的延长线相交于点F．
(1)连接AC，AD，求证：∠DAC+∠ACF＝180°；
(2)若∠ABD＝2∠BDC，
①求证：CF是⊙O的切线；
②当BD＝6，tanF＝
时，求CF的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知：如图，点A，B，C三点在⊙O上，AE平分∠BAC，交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC，连结BE．
(1)求证：直线l是⊙O的切线；
(2)如果DE＝a，AE＝b，写出求BE的长的思路．
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