Question

【题目】已知抛物线y＝x2+（2n﹣1）x+n2﹣1（n为常数）．

（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；

（2）设A是（1）所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．

①当BC＝1时，求矩形ABCD的周长；

②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标．如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3x；（2）①矩形ABCD的周长为6，②当x＝时，矩形ABCD的周长C最大值为，此时点A的坐标为A（，）．

【解析】

（1）将原点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出n的值，然后根据抛物线顶点在第四象限将不合题意的n值舍去，即可得出所求的二次函数解析式；

（2）①先根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴另一交点E的坐标，根据抛物线和矩形的对称性可知：OB的长，就是OE与BC的差的一半，由此可求出OB的长，即B点的坐标，然后代入抛物线的解析式中即可求出B点纵坐标，也就得出了矩形AB边的长．进而可求出矩形的周长；②思路同①可设出A点坐标（设横坐标，根据抛物线的解析式表示纵坐标），也就能表示出B点的坐标，即可得出OB的长，同①可得出BC的长，而AB的长就是A点纵坐标的绝对值，由此可得出一个关于矩形周长和A点纵坐标的函数关系式，根据二次函数的性质可得出矩形周长的最大值及对应的A的坐标．

（1）由已知条件，得n2﹣1＝0

解这个方程，得n1＝1，n2＝﹣1

当n＝1时，得y＝x2+x，此抛物线的顶点不在第四象限．

当n＝﹣1时，得y＝x2﹣3x，此抛物线的顶点在第四象限．

∴所求的函数关系式为y＝x2﹣3x；

（2）由y＝x2﹣3x，

令y＝0，得x2﹣3x＝0，

解得x1＝0，x2＝3

∴抛物线与x轴的另一个交点为E（3，0）

∴它的顶点为，对称轴为直线，其大致位置如图所示，

①∵BC＝1，易知OB＝×（3﹣1）＝1．

∴B（1，0）

∴点A的横坐标x＝1，又点A在抛物线y＝x2﹣3x上，

∴点A的纵坐标y＝12﹣3×1＝﹣2．

∴AB＝|y|＝|﹣2|＝2．

∴矩形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（2+1）＝6．

②∵点A在抛物线y＝x2﹣3x上，故可设A点的坐标为（x，x2﹣3x），

∴B点的坐标为（x，0）．

∴BC＝3﹣2x，A在x轴下方，

∴x2﹣3x＜0，

∴AB＝|x2﹣3x|＝3x﹣x2

∴矩形ABCD的周长C＝2[（3x﹣x2）+（3﹣2x）]＝，

∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，二次函数有最大值，

∴当x＝时，矩形ABCD的周长C最大值为．

此时点A的坐标为A．