Question

18、把数字1，2，3，…，9分别填入右图的9个圈内，要求三角形ABC和三角形DEF的每条边上三个圈内数位之和等于18．
（1）给出符合要求的填法；
（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先确定D、E、F三处的数字之和应该是24，再进一步分析其它的数字；
（2）把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为x；D，E，F三处圈内的三个数之和记为y；其余三个圈所填的数位之和为z．结合图形和已知条件得到方程组，进而求得y=24，再进一步分析即可．

解答：解：（1）右图给出了一个符合要求的填法；

（2）共有6种不同填法
把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为x；D，E，F三处圈内的三个数之和记为y；其余三个圈所填的数位之和为z．显然有x+y+z=1+2+…+9=45①，
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有z+3y+2x=6×18=108②，
②-①，得x+2y=108-45=63③，
把AB，BC，CA每一边上三个圈中的数的和相加，则可得2x+y=3×18=54④，
联立③，④，解得x=15，y=24，
继而解之z=6．
在1，2，3，…，9中三个数之和为24的仅为7，8，9，所以在D，E，F三处圈内，只能填7，8，9三个数，共有6种不同填法．
显然，当这三个圈中的数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内的数也随之确定，从而得结论，共有6种不同的填法．

点评：此题中要特别注意三角形的顶点的数字的重复使用，能够根据各边的数字之和列方程组求解．