Question

如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△AFG绕点旋转，AF、AG与边BC的交点分别为点D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；
（2）△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D使BD=CE，求出点D的坐标，并通过计算验证BD²+CE²=DE²；
（3）在旋转过程中，（2）中的等量关系BD²+CE²=DE²是否始终成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA．
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA．
又∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA．

（2）∵BD=CE，
∴BE=CD．
∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，
∴△ABE≌△ACD．
∴AD=AE．
∵△BAE∽△CDA，
∴CD=AB=

2

，易得CO=1．
∴OD=

2

-1，那么点D的坐标为（1-

2

，0）．
∵BD=2-

2

，CE=2-

2

，DE=2-2BD=2

2

-2，
∴BD²+CE²=DE²．

（3）成立．
证明：将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中，
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD，
∴△EAD≌△HAD．
∴DH=DE．
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+CE²=DH²即BD²+CE²=DE²．