Question

【题目】如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．

（1）求证：四边形PBQD是平行四边形；

（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，P从点A出发，以1cm/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒．

①请用t表示PD的长；②求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②当 时，四边形PBQD是菱形.

【解析】

(1)先证明△POD≌△QOB，从而得OP=OQ，再由OB=OD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证得结论；

(2)①根据PD=AD-AP即可得；

②由菱形的性质可得BP=PD=8-t，再由∠A=90°，根据勾股定理可得t2+62=(8-t)2，求出t值即可.

(1)在矩形ABCD中，，

，

∵点O是BD的中点，

，

在△POD和△QOB中，

，

∴△POD≌△QOB，

∴OP=OQ，

又∵OB=OD，

四边形PBQD是平行四边形；

(2)①，

∴PD=8-AP=(8-t)cm；

②∵四边形PBQD是菱形，

∴BP=PD=8-t，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴AP2+AB2=BP2，

即t2+62=(8-t)2，

解得：t=，

即当s时，四边形PBQD是菱形.