【题目】已知:如图, △ABC中,AB=AC,D在AC上,E在BC上,A E,B D交于F,∠AFD=60°,∠FDC+∠FEC=180°.
(1)求证:BE=CD.
(2)如图2,过点D作DG⊥AF于G,直接写出AE ,FG, BF的关系.
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG,若FG=BF,△AGD的面积等于5,求GC的长度.
【答案】(1)见详解;(2)AE-BF=2FG;(3)
【解析】
(1)证明△ABE≌△BCD即可;
(2)利用△ABE≌△BCD,可得AE=BD,由图可知DF=BD-BF,再利用30°所对的直角边是斜边的一半,可得DF=2GF,即可得到AE,FG,BF的关系;
(3)连接BG,将三角形CBG绕点C顺时针旋转,是CB与CA重合,G点落在M处连接GM,先利用条件证出△GCM为等边三角形,再证出△GAM为等腰直角三角形,利用
△AGD的面积等于5,求出GA2,最后利用勾股定理求出GM即为GC.
解:(1)∵∠FDC+∠FEC=180°,∠FEC+∠AEB=180°
∴∠FDC=∠AEB
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠BAE=180°―∠ABC―∠AEB
∠CBD=180°―∠ACB―∠FDC
∴∠BAE=∠CBD
∵∠AFD是△ABF的外角
∴∠AFD=∠BAE+∠ABF=∠CBD+∠ABF=∠ABC
∴∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AB=BC
在△ABE和△BCD中
∴△ABE≌△BCD(AAS)
∴BE=CD
(2)∵△ABE≌△BCD
∴AE=BD
在Rt△GFD中∵∠GFD=60°
∴∠GDF=30°
∴
∴BD-BF=2FG
∴AE-BF=2FG
(3)连接BG,将三角形CBG绕点C顺时针旋转,是CB与CA重合,G点落在M处连接GM.
可得BG=AM,CG=CM,∠GBC=∠MAC,∠GCB=∠MCA
∴∠MCG=∠MCA+∠ACG=∠GCB+∠ACG=∠ACB=60°
∴△GCM为等边三角形
∴CG=CM=GM
∵FG=BF,∠GFD是△FBG的外角
∴∠FBG=∠FGB=∠GFD=30°
又∵∠GDF=30°
∴GB=GD,∠BGD=120°
又∵∠BAD=60°
∴点A在以G为圆心,GB为半径的圆上
∴GB=GD=GA,△AGD的面积等于5
∴∠GAB=∠GBA=∠FGB=15°,GD·GA=5
∴GA2=10
由(1)中△ABE≌△BCD
∴∠DBC=∠GAB=15°
∴∠GBC=∠FBG+∠DBC=45°
∴∠CAM=45°
∴∠GAM=90°
∴△GAM为等腰直角三角形,
∴GM=
∴GC=GM=
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【题目】“低碳生活,绿色出行”,2017年1月,某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.
(1)若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同,3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆?
(2)考虑到自行车市场需求不断增加,某商城准备用不超过70000元的资金再购进A,B两种规格的自行车100辆,已知A型的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车进价为1000元/辆,售价为1300元/辆。假设所进车辆全部售完,为了使利润最大,该商城应如何进货?
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【题目】解下列各题:
(1)已知∠A,∠B,∠C是锐角三角形ABC的三个内角,且满足(2sinA-)2+=0,求∠C的度数;
(2)已知tanα的值是方程x2-x-2=0的一个根,求式子的值.
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【题目】如图,等边△ABD与等边△ACE,连接BE、CD,BE的延长线与CD交于点F,下列结论:(1)BE=CD ;(2)AF平分∠EAC ; (3)∠BFD=60°;(4)AF+FD=BF 其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,∠ACB=90°,AC=BC,D为△ABC外一点,且AD=BD,DE⊥AC交CA的延长线于点E,
(1)求证:DE=AE+BC .
(2)若,求线段AE的长.
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【题目】某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理,若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.
(1)求n的值;
(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量;
(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a.在(2)的情况下,第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等,第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值.
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【题目】如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.
△ACB和△DCE的顶点都在格点上,ED的延长线交AB于点F.
(1)求证:△ACB∽△DCE;(2)求证:EF⊥AB.
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【题目】在 Rt△ABC 中,∠C=Rt∠,AC=2BC,AB=5,D、E 分别在 AB、AC 上,且 AE ,DE∥BC.
(1)如图(1),将△ADE 沿射线 DA 方向平移,得到△ A1 D1 E1 ,当 AD1 多大时,四边形 AA1 E1 E 为菱形;
(2)如图(2),将△ADE 绕 A 点顺时针旋转 度( 00 1800 )得到△AD2E2
①连结 CE2 , BD2 ,求:的值;
②连结 CE2 , BE2 若△ ACE2 是直角三角形,求:△ ABE 2 的面积.
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【题目】某小区积极创建环保示范社区,决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱,已知温馨提示牌的单价为每个30元,垃圾箱的单价为每个90元,共需购买温馨提示牌和垃圾箱共100个.
(1)若规定温馨提示牌和垃圾箱的个数之比为1:4,求所需的购买费用;
(2)若该小区至多安放48个温馨提示牌,且费用不超过6300元,请列举所有购买方案,并说明理由.
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