Question

10．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，点A在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）上，点B在双曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上．
（1）若k=-2，求$\frac{OA}{OB}$的值；
（2）若∠OAB=30°，求k的值．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则∠AMB=∠BNO=∠AOB=90°，△AOM的面积=$\frac{2}{2}$=1，△OBN的面积=$\frac{1}{2}$，∠1=∠2，得出△AOM∽△OBN，由相似三角形的性质即可得出结果；
（2）求出$\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{3}$，由相似三角形的性质求出△AOM的面积=$\frac{3}{2}$，即可得出k的值．

解答 解：（1）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，如图所示：
则∠AMB=∠BNO=∠AOB=90°，△AOM的面积=$\frac{2}{2}$=1，△OBN的面积=$\frac{1}{2}$，
∴∠1=∠2，
∴△AOM∽△OBN，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{2}}}$=$\sqrt{2}$；
（2）∵∠OAB=30°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=60°，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{△OBN的面积}{△AOM的面积}$=（$\sqrt{3}$）²=3，
∴△AOM的面积=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴k=-3．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征；通过作辅助线证明三角形相似是解决问题的关键．