Question

19．已知△ABC中，∠A=50°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC=115°．
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O₁、O₂，则∠BO₂C=$\frac{280}{3}$°．
（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O₁、O₂…O_n-1（内部有n-1个点），求∠BO_n-1C（用n的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O₁、O₂…O_n-1，若∠BO_n-1C=60°，求n的值．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，已知∠A即可得到∠ABC与∠ACB的和，而BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，即可求得∠OBC与∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求得∠O₂BC+∠O₂CB，即可求出∠BO₂C；
（3）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据n等分线的定义求得∠O_n-1BC+∠O_n-1CB，即可求出∠BO_n-1C．
（4）依据（3）的结论即可求出n的值．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°，BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线．
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=65°，
∴△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°．
故答案为：115°；

（2）∵点O₂是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{3}$×130°=（$\frac{260}{3}$）°，
∴∠BO₂C=180°-（$\frac{260}{3}$）°=（$\frac{280}{3}$）°．
故答案为：$\frac{280}{3}$；

（3）∵点O_n-1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
∴∠O_n-1BC+∠O_n-1CB=$\frac{n-1}{n}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{n-1}{n}$×130°，
∴∠BO_n-1C=180°-$\frac{n-1}{n}$×130°；

（4）∵∠BO_n-1C=60°，
∴180°-$\frac{n-1}{n}$×130°=60°，解得n=13．

点评 本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．