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21、已知:如图△ABC中,高AD和BE相交于点H,且HA=HC.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)用直尺和圆规画出经过B、H、C三点的⊙O(不写画法);
(3)证明EC是⊙O的切线.
分析:(1)根据题意HA=HC,由等腰三角形的性质可得∠1=∠3,圆内接四边形的性质可得∠3=∠2;联立可得∠1=∠2;
(2)根据三角形外接圆的作法可得答案;
(3)连接CO并延长交⊙O于F,连接FH,根据角的关系,易得∠1+∠FCH=90°,即EC⊥FC,故可得EC是⊙的切线.
解答:证明:(1)在△AHC中;
∵HA=HC,
∴∠1=∠2(1分),
∵AD⊥BC,BE⊥AC,∠AHE=∠BHD,
∴∠3=∠2(1分),
∴∠1=∠2;(1分)
(2)画图正确;(2分)
(3)连接CO并延长交⊙O于F,连接FH,则∠F+∠FCH=90°;
由(1)知∠1=∠2,
∵∠F=∠2,
∴∠F=∠1,
∴∠1+∠FCH=90°,
∴EC⊥FC,
∴EC是⊙的切线.
点评:本题考查切线的判定,角相等的证明及三角形外接圆的作法,要求学生掌握常见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题.
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