Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-1，0）、C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的顶点为P，将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为α，旋转后的图形为△BO′C′．
①当O′C′∥CP时，求α的大小；
②△BOC在第一象限内旋转的过程中，当旋转后的△BO′C′有一边与BP重合时，求△BO′C′不在BP上的顶点的坐标．

Answer 1

（1）由题意得

- b 2a =1 a-b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

．
所以，此抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）①如图，
顶点P为（1，4），CP=

12+12

=

2

，BC=

32+32

=3

2

，
BP=

22+42

=2

5

，
又因为CP²+BC²=PB²，
所以∠PCB=90°．
又因为O′C′∥CP，
所以O′C′⊥BC，
所以点O′在BC上，
所以α=45°．
②如备用图1，
当BC′与BP重合时，过点O′作O′D⊥OB于D．
因为∠PBC+∠CBO′=∠CBO′+∠ABO′=45°，
所以∠ABO′=∠PBC．
则△DBO′∽△CBP，
所以

BD

BC

=

O′D

PC

，
所以

BD

3 2

=

O′D

2

，
所以BD=3O′D．
设O′D=x，则BD=3x，根据勾股定理，得x²+（3x）²=3²，
解得x=

3

10

10

，
所以BD=

9

10

10

，
所以点O′的坐标为（3-

9

10

10

，

3

10

10

）．
如备用图2，
当BO′与BP重合时，过点B作x轴的垂线BE，过点C′作C′E⊥BE于E，
因为∠PBE+∠EBC′=∠PBE+∠CBP=45°，
所以∠EBC′=∠PBC．
所以△EBC′∽△CBP，
所以

BE

BC

=

C′E

PC

，
所以

BE

3 2

=

C′E

2

，
所以BE=3C′E．
设C′E为y，则BE=3y，根据勾股定理，
得y2+(3y)2=(3

2

)2，
解得y=

3

5

5

，
所以BE=

9

5

5

，
所以C′的坐标为（3+

3

5

5

，

9

5

5

）．