Question

【题目】如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C（1，）处，两直角边分别与x，y轴平行，纸板的另两个顶点A，B恰好是直线y=kx+与双曲线y=（m＞0）的交点．

（1）求m和k的值；

（2）设双曲线y=（m＞0）在A，B之间的部分为L，让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB交于M，N两点，请探究是否存在点P使得MN=AB，写出你的探究过程和结论．

Answer 1

【答案】（1）k=﹣；m=4 ；（2）不存在，理由见解析．

【解析】

（1）由题意易知点A横坐标为1，代入y=，可用含m的代数式表示它的纵坐标；同理可表示点B坐标，再代入方程组即可求m和k的值；

（2）用反证法证明．假设存在，运用一元二次方程判别式即可解出．

解：（1）∵A，B在双曲线y=（m＞0）上，AC∥y轴，BC∥x轴，

∴A，B的坐标分别（1，m），（2m，）

又点A，B在直线y=kx+上，

∴

解得或

当k=﹣4且m=时，点A，B的坐标都是（1，），不合题意，应舍去；

当k=﹣且m=4时，点A，B的坐标分别为（1，4），（8，，符合题意．

∴k=﹣，m=4．

（2）假设存在点P使得MN=AB．

∵AC∥y轴，MP∥y轴，

∴AC∥MP，

∴∠PMN=∠CAB，

∴Rt△ACB∽Rt△MPN，

∴，

设点P坐标为P（x，）（1＜x＜8），

∴M点坐标为M（x，﹣x+），

∴MP=﹣x+-．

又∵AC=4﹣，

∴，即2x2﹣11x+16=0（※）

∵△=（﹣11）2﹣4×2×16=﹣7＜0．

∴方程（※）无实数根．

∴不存在点P使得MN=AB．