Question

如图，已知∠AOB=30°，P为其内部一点，OP=3，M、N分别为OA、OB边上的一点，要使△PMN的周长最小，请给出确定点M、N位置的方法，并求出最小周长．

Answer 1

分析：作点P关于OA的对称点P₁，点P关于OB的对称点P₂，连结P₁P₂，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段P₁P₂的长即可．

解答：解：作点P关于OA的对称点P₁，点P关于OB的对称点P₂，连结P₁P₂，
与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，
△PMN的最小周长为PM+MN+PN=P₁M+MN+P₂N=P₁P₂，即为线段P₁P₂的长，
连结OP₁、OP₂，则OP₁=OP₂=3，
又∵∠P₁OP₂=2∠AOB=60°，
∴△OP₁P₂是等边三角形，
∴P₁P₂=OP₁=3，
即△PMN的周长的最小值是3．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称-最短路线问题的应用，关键是确定M、N的位置．