Question

【题目】 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，交y轴正半轴于C点，D为抛物线的顶点，A（-1，0），B（3，0）．

（1）求出二次函数的表达式．

（2）点P在x轴上，且∠PCB=∠CBD，求点P的坐标．

（3）在x轴上方抛物线上是否存在一点Q，使得以Q，C，B，O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P（6，0）或P；（3）存在，点Q或．

【解析】

（1）将点A、B坐标代入解析式求出b、c的值即可得；

（2）∠PCB=∠CBD有两种情况，①P在B的右侧时，延长BD交y轴于点H，由∠OCB=∠OBC=45°，可证明∠HCB=∠CBP，从而△PCB≌△HBC，由直线BD即可求得：OH=OP=6，从而得到P点坐标；②P在B的左侧时，此时PC∥BD，根据一次函数解析式即可求出P；

（3）分以下两种情况分别求解，①点Q在y轴右侧时，由OB=OC，可得出OQ是∠BOC的平分线，联立二次函数解析式与直线OQ的解析式即可求解；②点Q在y轴左侧时，可得这条对角线只能是BQ，过点C作x轴的平行线EF，过点Q，B分别作EF的垂线，垂足分别为F，E，延长FQ交x轴于点G，设点Q的坐标为(m，n)，根据S△BOQ=S△CBQ=S梯形FQBE-S△FCQ-S△BEC可得出关于m，n的关系式，再与二次函数的解析式联立即可求解．

解：（1）将点A（-1，0），B（3，0）代入y=-x2+bx+c得，

，解得，

∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+3；

（2）①当点P在点B右侧时，延长BD交y轴于点H，

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴点D的坐标为（1，4），

设直线BD的解析式为y=kx+b，则

，解得，即直线BD的解析式为y=-2x+6，

∴点H的坐标为（0，6），

∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠HCB=∠CBP=135°，

又∠PCB=∠CBD，BC=BC，

∴△PCB≌△HBC，

∴CH=PB，

∴OH=OB=6，

故此时点P的坐标为（6，0）；

②当点P（P′）在点B左侧时，

直线BD的表达式为：y=-2x+6，

∵∠P′CB=∠CBD，则P′C∥BD，

则直线P′C的表达式为：y=-2x+3，

当y=0，x=，故此时点P′的坐标为，

综上所述，点P的坐标为（6，0）或；

（3）存在．理由如下：①当点Q在y轴右侧时，以Q，C，B，O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分，这条对角线只能是OQ，S△COQ=S△BOQ，如图，

而OB=OC，故OQ是∠BOC的平分线，

即OQ的函数表达式为：y=x，

将y=x与y=-x2+2x+3联立得，

-x2+2x+3=x，解得x=（舍去负值），

故此时点Q的坐标为（，）；

②当点Q在y轴左侧时，以Q，C，B，O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分，这条对角线只能是BQ，S△BOQ=S△CBQ，如图，过点C作x轴的平行线EF，过点Q，B分别作EF的垂线，垂足分别为F，E，延长FQ交x轴于点G，则QG⊥x轴，BE=CO=3=FG，BO=CE=3，

设点Q的坐标为(m，n)，则QG=n，FQ=3-n，OG=FC=-m，

∴S△BOQ=×3×n，

S△CBQ=S梯形FQBE-S△FCQ-S△BEC=×（3-n+3）×（3-m）-×(-m)×(3-n)-×3×3=(9-3m-3n)，

∴×3×n(9-3m-3n)，即m+2n=3①，

又点Q在二次函数图象上得，n=-m2+2m+3②，

联立①②得，，解得（舍去），

∴点Q的坐标为（-，）；

综上所述，点Q的坐标为或．