Question

19．如图，四边形ABDE是平行四边形，点F、点C为对角线AD上的两点，且AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形．
（2）若∠ABC=90°，∠BAC=30°，AB=3，求当AF为何值时，四边形BCEF是菱形？

Answer 1

分析 （1）连接对角线BF，证明四边形BCEF的对角线互相平分即可；
（2）当AF为$\sqrt{3}$时，四边形BCEF是菱形，利用三角函数求出BC和AC的长，说明△BCF是等边三角形，则
BF=BC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论．

解答 （1）证明：连接BE交AD于O，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴OB=OE，OA=OD，
∵AF=DC，
∴OF=OC，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）当AF为$\sqrt{3}$时，四边形BCEF是菱形，
理由是：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC=30°，AB=3，
∴BC=AB×tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，AC=2BC=2$\sqrt{3}$，
当AF=$\sqrt{3}$时，则CF=$\sqrt{3}$，
∴CF=BC，
∵∠ACB=90°-30°=60°，
∴△BCF是等边三角形，
∴BF=FC=BC，
∴?BCEF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形和菱形的性质和判定，是常考题型，在判定一个四边形是平行四边形时，如果有对角线的关系，常证明对角线互相平分的四边形是平行四边形；本题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法．