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已知抛物线C1如图1所示,现将C1以y轴为对称轴进行翻折,得到新的抛物线C2
(1)求抛物线C2的解析式;
(2)在图1中,将△OAC补成矩形,使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,请直接(不需要写过程)写出矩形的周长;
(3)如图2,若抛物线C1的顶点为M,点P为线段BM上一动点(不与点M、B重合),PN⊥x轴于N,请求出PC+PN的最小值.
(1)根据图形,点A、B关于y轴的对称点分别为(1,0)(-2,0),点C的坐标为(0,-2),
设抛物线C2的解析式为y=ax2+bx+c,
a+b+c=0
4a-2b+c=0
c=-2

解得
a=1
b=1
c=-2

所以,抛物线C2的解析式为y=x2+x-2;

(2)①AO、CO为一边时,都是以CO、AO为长与宽的矩形,
∵A(-1,0)C(0,-2),
∴AO=1,CO=2,
∴周长为:2(1+2)=2×3=6,
②AC为一边时,根据勾股定理,AC=
AO2+CO2
=
12+22
=
5

根据三角形的面积,设点O到AC的距离为h,则
1
2
×
5
•h=
1
2
×1×2,
解得h=
2
5
5

所以,周长为2(
5
+
2
5
5
)=
14
5
5


(3)根据轴对称与最短距离问题,作点C关于直线BM的对称点C′,过C′作C′N⊥x轴交BM于点P,此时PC+PN最小,
根据对称性,抛物线C1的解析式为y=x2-x-2=(x-
1
2
2-
9
4

所以,顶点M的坐标为(
1
2
,-
9
4
),
设直线BM的解析式为y=kx+b,
1
2
k+b=-
9
4
2k+b=0

解得
k=
3
2
k=-3

所以,直线BM的解析式为y=
3
2
x-3,
∵直线CC′与直线BM垂直,且经过点C(0,-2),
∴直线CC′的解析式为y=-
2
3
x-2,
联立
y=
3
2
x-3
y=-
2
3
x-2

解得
x=
6
13
y=-
30
13

∴交点坐标,即CC′的中点坐标为(
6
13
,-
30
13
),
根据中点坐标,C′的纵坐标为2×(-
30
13
)-(-2)=-
60
13
+2=-
34
13

∵|-
34
13
|=
34
13

∴PC+PN的最小值为
34
13
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在直角坐标系中,⊙A的半径为4,圆心A的坐标为(2,0),⊙A与x轴交于E、F两点,与y轴交于C、D两点,过点C作⊙A的切线BC,交x轴于点B.
(1)求直线CB的解析式;
(2)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上,与x轴的交点恰为点E、F,求该抛物线的解析式;
(3)试判断点C是否在抛物线上;
(4)在抛物线上是否存在三个点,由它构成的三角形与△AOC相似?直接写出两组这样的点.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过三点(1,0),(-3,0),(0,-
3
2
).
(1)求二次函数的解析式,并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象;
(2)若反比例函数y2=
2
x
(x>0)的图象与二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象在第一象限内交于点A(x0,y0),x0落在两个相邻的正整数之间,请你观察图象,写出这两个相邻的正整数;
(3)若反比例函数y2=
k
x
(x>0,k>0)的图象与二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象在第一象限内的交点A,点A的横坐标x0满足2<x0<3,试求实数k的取值范围.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

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已知直线y=-
1
2
x
与抛物线y=-
1
4
x2+6
交于A、B两点,取与线段AB等长的一根橡皮筋,端点分别固定在A、B两处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P将与A、B构成无数个三角形,这些三角形中存在一个面积最大的三角形,最大面积为(  )
A.12
6
B.
125
2
C.
125
4
D.
23
4

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC,tan∠ACO=
1
3

(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,二次函数y=
1
2
x2+bx-
3
2
的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
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