分析 (1)由矩形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=∠ADF=90°,AD∥BC,证出∠BAE=∠DAF,即可得出结论;
(2)证明△ABE∽△DAB,得出对应边成比例,即可得出答案;
(3)①当AE=AM时,证明△AEF≌△CEF(AAS),得出AE=CE,设BE=x,则AE=CE=4-x,Rt△ABE中,由勾股定理得出方程,解方程即可;
②当AE=EM时,过点E作EN⊥AD于点N,则AN=MN=BE=x,EN∥DF,由(1)得:△ABE∽△ADF,得出对应边成比例求出DF=$\frac{4}{3}$x,由平行线证明△EMN∽△FMD,得出对应边成比例,得出方程,解方程即可.
解答 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=∠ADF=90°,AD∥BC,
∵AF⊥AE,∴∠EAF=90°,
∴∠BAD=∠EAF,
∴∠BAE=∠DAF,
∵∠ABE=∠ADF=90°,
∴△ABE∽△ADF.
(2)解:∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠DAE,
∵AE⊥BD,
∴∠BAE+∠ABD=90°,
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠ABD=∠AEB,
∴∠AEB=∠ABD,
又∵∠ABE=∠BAD=90°,
∴△ABE∽△DAB,
∴$\frac{AB}{DA}=\frac{BE}{AB}$,即$\frac{3}{4}=\frac{BE}{3}$,
解得:BE=$\frac{9}{4}$;
(3)解:分两种情况:
①当AE=AM时,∠AEF=∠AME,
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=90°,
∵AD∥BC,
∴∠AME=∠CEF,
∴∠AEF=∠CEF,
在△AEF和△CEF中,$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠CEF}&{\;}\\{∠EAF=∠C=90°}&{\;}\\{EF=EF}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△AEF≌△CEF(AAS),
∴AE=CE,
设BE=x,则AE=CE=4-x,Rt△ABE中,
由勾股定理得:x2+32=(4-x)2,解得:x=$\frac{7}{8}$;
②当AE=EM时,过点E作EN⊥AD于点N,如图所示:
则AN=MN=BE=x,EN∥DF,
由(1)得:△ABE∽△ADF,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DF}$,即$\frac{3}{4}=\frac{x}{DF}$,
解得:DF=$\frac{4}{3}$x,
∵EN∥DF,
∴∴△EMN∽△FMD,
∴$\frac{EN}{DF}=\frac{MN}{DM}$,即$\frac{3}{\frac{4}{3}x}=\frac{x}{4-2x}$,
解得:x=$\frac{3}{2}$或x=-6(舍去),
∴BE=$\frac{3}{2}$;
综上所述,若△AEM是以AE为腰的等腰三角形,BE长为$\frac{7}{8}$或$\frac{3}{2}$.
点评 本题是四边形综合题目,考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质,证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0个 | B. | 1个 | C. | 2个 | D. | 3个 |
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 44 | B. | 45 | C. | 46 | D. | 47 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com