Question

如图，直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B坐标分别为（3，0），（3，4），动点M、N分别从点O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点B沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP，已知动点运动了x秒．
（1）P点坐标为（

 

，

 

）（用含x的代数式表示）
（2）当x为何值时，△MPA为等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根据PG和OG的长度即可求得P的坐标；
（2）△MPA为等腰三角形，则PM=PA或PM=MA或PA=AM即可，分别求x的值，即可解题．

解答：解：动点运动x秒后，则BN=x，

则PG=

4

3

x，CN=3-x，
∵∠ACB=∠PCN，∠ABC=∠PNC=90°，
∴△CPN∽△CAB，
∴

PN

AB

=

CN

CB

，又CN=3-x，AB=4，BC=3，
∴PN=

4

3

（3-x），
则PG=NG-NP=4-

4

3

（3-x）=

4

3

x，
∴P点的坐标为 （3-x，

4

3

x）；

（2）要使得△MPA为等腰三角形，
①，AP=PM，使得AG=MG即可，
MG=3-x-x=3-2x，AG=x，解得x=1，
②，AM=AP，则AM=3-x，AP=

5

3

x，解得x=

9

8

，
③，PM=AM，则AM=3-x，PM=

(3-2x)2+( 4 3 x)2

，解得x=

54

43

，
故x=1或

9

8

或

54

43

时，△MPA为等腰三角形．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中列出关于x的关系式并求解是解题的关键．