Question

【题目】已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，与y轴交于点E，顶点为P，对称轴与x轴交于点D

（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；

（Ⅱ）连接CP，△DCP是什么特殊形状的三角形？并加以说明；

（Ⅲ）点Q是第一象限的抛物线上一点，且满足∠QEO=∠BEO，求出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）二次函数解析式为y=x2﹣x﹣；（Ⅱ）△DCP是等腰直角三角形，理由见解析；（Ⅲ）点Q坐标为（5，6）．

【解析】

（Ⅰ）把A（-3，6），B（-1，0）代入y=x2+bx+c，解方程组即可解决问题．

（Ⅱ）结论：△DCP是等腰直角三角形．求出C、D、E三点坐标即可解决问题．

（Ⅲ）如图，连接BE、DE．只要证明△EOB≌△EOD，得到∠DEO=∠BEO，所以直线DE与抛物线的交点即为所求的点Q．求出直线DE的解析式，解方程组即可．

（Ⅰ）把A（﹣3，6），B（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，

得到，

解得，

∴二次函数解析式为y=x2﹣x﹣．

（Ⅱ）结论：△DCP是等腰直角三角形．

理由：对于抛物线y=x2﹣x﹣，令y=0，则x2﹣x﹣=0，解得x=﹣1或3，

∴点C坐标（3，0），

令x=0则y=﹣，

∴点E坐标（0，﹣），

∵y=x2﹣x﹣=（x﹣1）2﹣2，

∴顶点P坐标（1，﹣2），点D坐标（1，0），

∴CD=PD=2，

∵∠PDC=90°，

∴△PDC是等腰直角三角形．

（Ⅲ）如图，连接BE、DE．

∵B（﹣1，0），D（1，0），E（0，﹣），

∴OB=OD，OE=OE，∠BOE=∠DOE，

∴△EOB≌△EOD，

∴∠DEO=∠BEO，

∴直线DE与抛物线的交点即为所求的点Q．

设直线DE的解析式为y=kx+b，则有，

解得，

∴直线DE的解析式为y=，

由解得或，

∴点Q坐标为（5，6）．