Question

如图，等腰△ABC中顶角∠A=120°，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点E、F．求证：BF=2CF．

Answer 1

证明：连接AF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∵∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°（三角形内角和定理），
∵EF是AC的垂直平分线（已知），
∴AF=CF（垂直平分线的性质），
∴∠1=∠C=30°（等边对等角），
∴∠2=∠BAC-∠1=90°，
在Rt△BAF中（Rt△中30°角所对的直角边是斜边的一半），
∵AF=CF（已证），
∴（等量代换），
即BF=2CF．
分析：首先根据条件求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质求出∠1=∠C=30°，进而得到∠BAF=90°，然后利用在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得到
，又有AF=CF可证出结论．
点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解决问题的关键是证明∠B=30°，∠BAF=90°．