Question

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-

1

2

x+5的图象交x轴于点B，与正比例函数y=kx（k≠0）的图象交于第一象限内的点A．（如图①）
（1）以0、A、B三点为顶点画平行四边形，求这个平行四边形第四个顶点C的坐标；（用含k的代数式表示）
（2）若以0、A、B、C为顶点的平行四边形为矩形，求k的值；（图②备用）
（3）将（2）中的矩形OABC绕点O旋转，使点A落在坐标轴的正半轴上，求所得矩形与原矩形重叠部分的面积．

Answer 1

分析：（1）由题意两直线交于点A，利用方程求出A点，利用平行四边形的性质：对角线的交点是两条对角线的中点，利用中点坐标公式求C点的坐标；
（2）将平行四边形转化为矩形，首先要找到垂直关系，由题意及图形几何关系只有当0A⊥AB时才满足题意，从而根据垂直条件求出k值；
（3）利用（2）的结论，由题意中的矩形OABC绕点O旋转，使点A落在坐标轴的正半轴上，分两种情况在y轴正半轴上或在x轴正半轴上，根据几何关系易求重叠部分的面积．

解答：解：（1）

y=kx y=- 1 2 x+5

，
解得A(

10

2k+1

，

10k

2k+1

)，
当AC为对角线时，OB为另一条对角线，由平行四边形的性质，OB的中点即为AC的中点，
设点B的中点坐标为（5，0）由中点坐标公式：

5= xA+xC 2 0= yA+yC 2

，
从而解得C点坐标记为：C₃（

20k

2k+1

，

10k

2k+1

），
同理可得：当0C为对角线时：C₁（

20k+20

2k+1

，

10k

2k+1

），

当BC为对角线时：C₂（

-20k

2k+1

，

10k

2k+1

）；

（2）点B（10，0）、D（0，5），
若以0、A、B、C为顶点的平行四边形为矩形，由题设可知，只有当0A⊥AB时□OCBA为矩形如图①，作AE⊥OB于E，
由△OAE∽△DBO得，

AE

OE

=

BO

DO

，所以

10k 2k+1

10 2k+1

=

10

5

，
解得k=2．

（3）当k=2时，A（2，4），则OA=2

5

，AB=4

5

，
①如图②-1，当点A旋转到y轴的正半轴上点A′处，点C旋转到x轴的正半轴上点C处，
BC边旋转到B′C′位置，并与直线BD相交于点F，C′（4

5

，0），F（4

5

，5-2

5

），
所以S_阴影=S_△OAB-S_△BC′F=20

5

-25．
②如图②-2，当点A旋转到x轴的正半轴上点A′处，点C旋转到y轴的负半轴上点C处，
AB边旋转到A′B′位置，并与边OC相交于点G（2

5

，

5

），OA′=

1

2

OC，A′G=

1

2

BC，
所以S_阴影=

1

2

×

5

×2

5

=5．

点评：此题考查一次函数的性质及特殊点的坐标公式，中点坐标公式，还考查了平行四边形和矩形的性质，还间接考查思维的严密性，学会分类讨论，不要漏掉其他情况．