Question

设抛物线y=2x²，把它向右平移p个单位或向下q平移个单位，都能使得到抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，求p、q的值．

Answer 1

分析：分为将抛物线向右平移和向下平移两种情况，设平移后抛物线的解析式，列方程组，消元成一元二次方程，使△=0即可．

解答：解：①当抛物线y=2x²向右平移p个单位时，
得到抛物线解析式为y=2（x-p）²，
联立

y=2(x-p)2 y=x-4

，
消去y，得2x²-（1+4p）x+2p²+4=0，
∵抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，
∴△=（1+4p）²-8（2p²+4）=0，
解得p=

31

8

；
②当抛物线y=2x²向下平移q个单位时，
得到抛物线解析式为y=2x²-q，
联立

y=2x2-q y=x-4

，
消去y，得2x²-x+4-q=0，
∵抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，
∴△=（-1）²-8（4-q）=0，
解得q=

31

8

．
故本题答案为：p=

31

8

，q=

31

8

．

点评：本题考查了抛物线的平移与解析式的关系，抛物线与直线只有一个交点时平移的条件．还考查了分类讨论的思想．