Question

17．已知2+$\frac{2}{3}$=2²×$\frac{2}{3}$，3+$\frac{3}{8}$=3²×$\frac{3}{8}$，4+$\frac{4}{15}$=4²×$\frac{4}{15}$，…如果5+$\frac{a}{b}$=5²×$\frac{a}{b}$（a、b为正整数）
（1）求a与b的值．
（2）用字母n表示上述规律；
（3）写出第14个等式．

Answer 1

分析 （1）直接利用已知得出数字变化规律进而得出a，b的值；
（2）由已知等式知，分母是第一个加数的平方-1，据此规律可得；
（3）第14个等式即为n=15，代入（2）中等式即可得．

解答 解：（1）∵2+$\frac{2}{3}$=2²×$\frac{2}{3}$，即2+$\frac{2}{{2}^{2}-1}$=2²×$\frac{2}{{2}^{2}-1}$，
3+$\frac{3}{8}$=3²×$\frac{3}{8}$，即3+$\frac{3}{{3}^{2}-1}$=3²×$\frac{3}{{3}^{2}-1}$，
4+$\frac{4}{15}$=4²×$\frac{4}{15}$，即4+$\frac{4}{{4}^{2}-1}$=4²×$\frac{4}{{4}^{2}-1}$，
…
∴5+$\frac{5}{{5}^{2}-1}$=5²×$\frac{5}{{5}^{2}-1}$，即5+$\frac{5}{24}$=5²×$\frac{5}{24}$，
则a=5，b=24；

（2）由（1）可知，n+$\frac{n}{{n}^{2}-1}$=n²•$\frac{n}{{n}^{2}-1}$；

（3）第14个等式为15+$\frac{15}{224}$=15²×$\frac{15}{224}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，解决本题的关键是得到等号左边的整数和等号左边的分式的分子分母之间的关系．