Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．

（1）求∠EDG的度数．

（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．

①求证：BF∥DE；

②若正方形边长为12，求线段AG的长．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）①用外角证明平行见解析，②4

【解析】整体分析：

（1）判断DE，DG分别平分∠CDF，∠ADF；（2）①由ED平分∠CEG，EF=EB，结合三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得到∠CED=∠EBF；（3）由（1）中的结论，在Rt△BEG中用勾股定理列方程求解.

（1）解：由折叠知，DF=DC，∠CDE=∠FDE，∠DFE=∠DCE=90°，

∵AD=CD，所以AD=DF，

∵∠DAG=90°，DG=DG，

∴△DAG≌△DFG，∴∠ADG=∠FDG，

∴∠EDG=∠EDF+∠FDG=（∠CDF+∠FDA）=×90°=45°.

（2）①证明：由折叠知，CE=EF，∠CED=∠FED，

∵E为BC的中点，∴BE=CE，∴EF=BE，

∴∠EBF=∠EFB，

∵∠CEG=∠EBF+∠EFB，∴∠CED=∠EBF，

∴BF∥DE.

（3）由（1）得EC=EF，GA=GF，

∴EG=EC+GA.

设AG=x，则BG=12-x，

又EB=EC=EF=6，

在Rt△BEG中，由勾股定理得：BG2+BE2=EG2.

∴（12-x）2+62=(x+6)2，解得x=4.

所以线段AG的长为4.