Question

设x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x₁²+x₂²有最小值？最小值是多少？

Answer 1

分析：设x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的两实根，首先：△=（2a）²-4（a²+4a-2）≥0可求得a≤

1

2

，得到了关于a的取值范围．对要求值的式子化简：x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2（a-2）²-4，设y=2（a-2）²-4，这是一个关于a的一元二次方程，其对称轴是a=2，开口方向向上．根据开口向上的二次函数的性质：距对称轴越近，其函数值越小．故在a≤

1

2

的范围内，当a=

1

2

时，x₁²+x₂²的值最小；此时

x

2 1

+

x

2 2

=2(

1

2

-2)2-4=

1

2

，即最小值为

1

2

．

解答：解：∵△=（2a）²-4（a²+4a-2）≥0，∴a≤

1

2

又∵x₁+x₂=-2a，x₁x₂=a²+4a-2．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2（a-2）²-4．
设y=2（a-2）²-4，根据二次函数的性质．
∵a≤

1

2

∴当a=

1

2

时，x₁²+x₂²的值最小．
此时

x

2 1

+

x

2 2

=2(

1

2

-2)2-4=

1

2

，即最小值为

1

2

．

点评：本题考查一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数关系，两根之和是-

b

a

，两根之积是

c

a

．还考查了用二次函数性质解决二次三项式的最小值问题可以转化为利用二次函数解决．