Question

12．正方形ABCD的边AD上有一点E，满足BE=ED+DC，如果M是AD的中点，求证：∠EBC=2∠ABM．

Answer 1

分析 作∠EBC的角平分线交CD于点F，过F作FG⊥BE于点G，连接EF，可证明F为CD的中点，进一步可证得△ABM≌△CBF，可证得结论．

解答 证明：
如图，作∠EBC的角平分线交CD于点F，过F作FG⊥BE于点G，连接EF，

∵四边形ABCD为正方形，
∴FC⊥BC，且BF平分∠EBC，
∴FC=GF，
在Rt△BCF和Rt△BGF中
$\left\{\begin{array}{l}{CF=GF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$
∴Rt△BCF≌Rt△BGF（HL），
∴BC=BG，
∵BE=CD+DE=BC+DE，
∴DE=GE，
在Rt△DEF和Rt△GEF中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=GE}\\{EF=EF}\end{array}\right.$
∴Rt△DEF≌Rt△GEF（HL），
∴DF=GF，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$CD，
∵M为AD中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$CD=CF，
在△ABM和△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠C}\\{AM=CF}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△CFB（SAS），
∴∠ABM=∠CBF，
∴∠EBC=2∠ABM．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及正方形的性质，构造三角形全等证明F为CD的中点是解题的关键．