Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P为BC边上一动点，如果以P为圆心，BP为半径的圆P与以AC为直径的圆O相交，那么点P离开点B的距离BP的取值范围是$\frac{18}{7}$＜BP＜9．

Answer 1

分析 过点A作AD⊥BC，利用等腰三角形的性质得出CD的长，利用圆与圆的位置关系解答即可．

解答 解：①过点A作AD⊥BC，过O作OH⊥BC，如图
∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，
∴CD=BD=6，
∴AD=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}=8$，
设BP=r时，两圆相外切，则PO=r+5，PH=BC-r-CH
又易求OH=4，CH=3；
则有勾股定理（r+5）²=（9-r）²+4²，解得r=$\frac{18}{7}$

②当两圆内切时，过点A作AD⊥BC，过O作OH⊥BC，如图
易知OP=r-5，PH=9-r，OH=4
同理由勾股定理求得r=9
故答案为：$\frac{18}{7}$＜BP＜9．

点评 本题考查的是两圆的位置关系和勾股定理的应用，若P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径，两圆外离，则P＞R+r；两圆外切，则P=R+r；两圆相交，则R-r＜P＜R+r；两圆内切，则P=R-r；两圆内含，则P＜R-r．