Question

4．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B=∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC=2∠DCM．
①如图2，若N为AB中点，BN=2，求CN的长；②如图2，若CM=3，CN=4，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠B=90°即可．
（2）如图2中，延长CM、BA交于点E，只要证明△AME≌△DMC，得到AE=CD-4，再证明EN=CN即可解决问题．
（3）如图3中，延长CM、BA交于点E．设BN=x，则BC²=CN²-BN²=CE²-EB²，由此列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形．

（2）①如图2中，延长CM、BA交于点E．

∵AN=BN=2，
∴AB=CD=4，
∵AE∥DC，
∴∠E=∠MCD，
在△AEM和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠MCD}\\{∠AME=∠CMD}\\{AM=DM}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△DMC，
∴AE=CD=4，
∵∠BNC=2∠DCM=∠NCD，
∴∠NCE=∠ECD=∠E，
∴CN=EN=AE+AN=4+2=6．

②如图3中，延长CM、BA交于点E．

由①可知，△EAM≌△CDM，EN=CN，
∴EM=CM=3，EN=CN=4，设BN=x，则BC²=CN²-BN²=CE²-EB²，
∴4²-x²=6²-（x+4）²，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴BC=$\sqrt{C{N}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线．构造全等三角形，属于中考考查图形．