Question

如图，已知是AB是⊙O直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PM平分∠CPA，交AC于点M，则∠CMP的度数是

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   60°
4. D.
   不能确定

Answer 1

B
分析：连接OC，由OA=OC，根据“等边对等角”得到∠A=∠OCA，又∠COP为△AOC的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得到∠COP=2∠A，由PM为角平分线，得到∠CPO=2∠APM，再由CP为圆O的切线，根据切线性质得到∠OCP=90°，故三角形COP的两锐角之和为90°，等量代换可得∠A+∠APM=45°，观察发现所求的角为三角形APM的外角，根据外角性质即可求出度数．
解答：解：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，又∠COP为△AOC的外角，
∴∠COP=∠A+∠OCA=2∠A，
∵PM为∠CPO的平分线，
∴∠CPM=∠APM=∠CPO，即∠CPO=2∠APM，
由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∴∠COP+∠CPO=90°，
∴2∠A+2∠APM=2（∠A+∠APM）=90°，
∴∠A+∠APM=45°，
又∵∠CMP为△APM的外角，
∴∠CMP=∠A+∠APM=45°．
故选B
点评：此题考查了圆的切线性质，及三角形的外角性质．运用切线的性质时，若已知切点，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题；若未知切点，则过圆心向切线作垂线，即可得半径．根据角平分线定义及三角形的外角性质，得到角之间的关系，利用转化的思想达到解题的目的，是解本题的关键．