Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，BD＝8cm，动点P从点B开始沿BC边匀速运动，动点Q从点D开始沿对角线DB匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s，过点Q作QE⊥CD，与CD交于点E，连接PQ，点P和点Q同时出发，设运动时间为t（s），0＜t≤5．

（1）当PQ∥CD时，求t的值；

（2）设四边形PQEC的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；

（3）当P，Q两点运动到使∠PQE＝60°时，求四边形PQEC的面积；

（4）是否存在某一时刻t，使PQ+QE的值最小？若存在，请求t的值，并求出此时PQ+QE的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝；（2）S＝t+12；（3）；（4）存在，理由见解析．

【解析】

（1）根据平行线分线段成比例定理得：，代入计算可得t的值；

（2）先根据三角函数表示PH和EQ、DE的长，根据面积差表示S与t之间的函数关系式；

（3）如图2，作辅助线，构建相似三角形和60度的直角三角形，根据平行 线分线段成比例定理列式为：，可得MQ＝BM＝，证明△QMP∽△FCP，计算FC的长，根据FE＝QE，列方程可得t的值，代入（2）中S与t的关系式可得结论；

（4）过Q作QF⊥AD于F，当P、Q、F三点共线时，PQ+QE的值最小，最小值就是菱形的高线PF．

解：（1）由题意得：PB＝DQ＝t，

∵BD＝8，

∴BQ＝8﹣t，

当PQ∥CD时，，

，t＝；

（2）如图1，过P作PH⊥BD于H，连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠BOC＝∠COD＝90°，

∵AB＝BC＝CD＝5，OB＝OD＝BD＝4，

∴OC＝3，

∴sin∠HBP＝，

∵PB＝t，

∴PH＝t，同理得EQ＝，

∴S＝S△BCD﹣S△BPQ﹣S△DEQ＝；

（3）如图2，过Q作QM∥CD，交BC于M，延长QP与EC交于点F，

∴，即，

∴MQ＝BM＝，

∴，

∵MQ∥FC，

∴△QMP∽△FCP，

∴，即，

Rt△FQE中，∵∠PQE＝60°，

由（2）知：四边形PQEC的面积＝，

∴四边形PQEC的面积＝；

（可以过P作CD的平行线）；

（4）存在，

如图4，过Q作QF⊥AD于F，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD平分∠ADC，

∵QE⊥CD，

∴QE＝QF，

∴当P、Q、F三点共线时，PQ+QE的值最小，

∵AD∥BC，

∴PF⊥BC，

S菱形ABCD＝PFBC＝，

∵PF＝PQ+FQ＝PQ+EQ＝

∴存在，当t＝s时，使PQ+QE的值最小，最小值是．