Question

已知抛物线y=ax²-2ax+b与x轴交于点A（3，0），与y轴相交于点B（0，）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为抛物线上的点，且在第二象限，若△POA的面积等于△POB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图2，C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点D使△DAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+b过A（3，0），B（0，-），
∴0=9a-6a+b-=b，
解得a=，b=-，
∴抛物线解析式为y=--．

（2）（x_p，y_p），△PDA的面积为S₁，△POB的面积为S₂，
∵A（3，0），B（0，-），
∴OA=3，OB=，
∴S₁=OA•|y_p|=|y_p|，S₂=OB•|x_p|=|x_p|，3分
∵P点在第二象限，
∴S₁=y_p，S₂=-x_p，
∵S₁=2s₂
∴y_p=-x_p，
∵点P在抛物线上，
∴y_p=x_p²-x_p-，
-x_p=x_p²-x_p-，
解得，x_p=（舍去），x_p=-，
当x_p=-时，y_P=，
∴点P的坐标为（-，）．

（3）∵C为抛物线的顶点，
∴C点的坐标为（1，-3），过点C作CE⊥y轴于点E，CG⊥x轴于点G，则CE=1，CG=3，
要使△ADC为直角三角形，分三种情况讨论：
①以AC为斜边，则D在以AC为直径的圆上，取AC的中点H，OE的中点F，连接HF，则HF为直角梯形OECA的中位线，HF=（EC+OA）=2，即圆心H到y轴的距离为2，
在Rt△CGA中，
∵CG=3，AG=2，
∴AC=，AH=，
∵＜2，
∴y轴与⊙H相离，
∴y轴上不存在符合条件的D点．
②以CD为斜边，过点A作AD₁⊥AC交y轴于点D₁，
∵∠D₁AO+∠OAC=90°，∠GCA+∠GAC=90°，
∴∠D₁AO=∠ACG，
∵AO=CG，
∴Rt△D₁A0≌Rt△ACG，
∴D₁O=AG=2，
∴y轴上存在点D₁（0，2）使△D₁AC为直角三角形．
③以AD为斜边，过点C作CD₂⊥AC交y轴于点D₂，
∵∠D₂CA=90°，∠GCE=90°，
∴∠D₂GE=∠ACG，
∴Rt△ACG∽Rt△D₂CE，
∴==，
∵CE=1，
∴ED₂=，
∵OE=3，
∴OD₂=OE-ED₂=，
∴y轴上存在点D₂（0，-）使△D₂AC为直角三角形．
分析：（1）把已知坐标代入抛物线求出a，b的值后易求抛物线的解析式．
（2）求出OA，OB的值后可求出S₁，S₂．根据题意求出点P的坐标．
（3）易求出C点的坐标，过点C作CE⊥y轴于点E，CG⊥x轴于点G，要使△ADC为直角三角形，可分三种情况讨论（以AC为斜边，则D在以AC为直径的圆上，取AC的中点H，OE的中点F，连接HF；以CD为斜边，过点A作AD₁⊥AC交y轴于点D₁；以AD为斜边，过点C作CD₂⊥AC交y轴于点D₂），利用相似三角形的判定以及线段比求解．
点评：本题考查的是二次函数的有关知识以及相似三角形的判定等知识．考生要注意的是全面分析问题，分情况解答．