Question

20．已知，如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：CE=BF．

Answer 1

分析 连接CD，构建全等三角形，证明△ECD≌△FBD，即可得出结论．

解答 解：连接CD，如图所示：
∵等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，∠ECD=∠B=45°，
∵AC=BC，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠B=45°，
∴∠CDF+∠BDF=90°，
∵ED⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠EDC=∠BDF，在△ECD和△FBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ECD=∠B}&{\;}\\{CD=BD}&{\;}\\{∠EDC=∠FDB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△FBD（ASA），
∴CE=BF．

点评 本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一的性质，同时要熟知等腰直角三角形的特殊性：如两个锐角都是45°；在全等三角形的证明中，常运用同角的余角相等来证明角相等．