Question

16．设a，b，c是△ABC的三边，关于x的方程（b+c）x²+$\sqrt{2}$（a-c）x-$\frac{3}{4}$（a-c）=0有两个相等的实数根，且a，b，c满足a-5b+2c=0．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）试求a：b：c的值．

Answer 1

分析 （1）由根的判别式得△=0，代入计算可得出结论；
（2）根据已知列方程组解出即可．

解答 解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：
∵关于x的方程（b+c）x²+$\sqrt{2}$（a-c）x-$\frac{3}{4}$（a-c）=0有两个相等的实数根，
∴△=$[\sqrt{2}（a-c）]^{2}$-4（b+c）•[-$\frac{3}{4}$（a-c）]=0，
2（a-c）²+3（b+c）（a-c）=0，
（a-c）（2a-2c+3b+3c）=0，
（a-c）（2a+3b+c）=0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴2a+3b+c≠0，
∴a-c=0，
a=c，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）有$\left\{\begin{array}{l}{a=c}\\{a-5b+2c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=c}\\{b=\frac{3}{5}c}\end{array}\right.$，
∴a：b：c=c：$\frac{3}{5}$c：c=5：3：5．

点评 本题考查了根的判别式，熟练掌握利用根的判别式（△=b²-4ac）判断方程的根的情况：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．