Question

如图，己知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，∠ACB=90°，交y轴负半轴于C点，点B在点A的右侧，且．
（1）求抛物线的解析式，
（2）求△ABC的外接圆面积；
（3）设抛物线y=x²+px+q的顶点为D，求四边形ACDB的面积；
（4）在抛物线y=x²+px+q上是否存在点P，使得△PAB的面积为2？如果有，这样的点有几个？写出它们的坐标；如果没有，说明理由．

Answer 1

解：（1）设A点横坐标为x₁、B点横坐标x₂；
由射影定理得-x₁•x₂=q²①，
由韦达定理得
x₁•x₂=q，x₁+x₂=-p，
又因为-=，
所以=②，
将x₁•x₂=q代入-x₁•x₂=q²①
得，-q=q²，解得q=-1或q=0（不合题意，舍去）．
将x₁•x₂=q，x₁+x₂=-p代入=②
得，=，p=-2，于是抛物线的解析式y=x²-2x-1．

（2）令y=0，所以x²-2x-1=0，
解得x₁=1-，x₂=1+；
所以AB=x₂-x₁=（1+-1+）=2．
∴△ABC的外接圆的半径=
∴△ABC的外接圆的面积=π（）²=2π．

（3）因为抛物线y=x²-2x-1的顶点坐标为（1，-2），作DE⊥AB于E，
所以四边形ACDB的面积=S_△ACO+S_△DEB+S_梯形COED=++=+1．

（4）AB=2，
要使△PAB的面积为2，只需P点到x轴即AB所在直线的距离为2．
∴P点的纵坐标为2或-2，代入y=x²-2x-1得：
∴P点的坐标为（3，2），（-1，2），（1，-2）．
分析：（1）由于∠ACB=90°，所以可由射影定理和韦达定理求抛物线的解析式；
（2）求出函数与x轴的交点坐标，计算出AB的值，便可求出半径得到圆的面积；
（3）将四边形的面积转化为S_△ACO+S_△DEB+S_梯形COED．
（4）由于底边值固定，找到高相同的三角形即可．
点评：解答此题的关键是求出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质以及其图象上点的坐标特征解题．