Question

【题目】如图，已知点C是AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形。

（1）△ACN≌△MCB吗？为什么？

（2）证明：CE=CF；

（3）若△CBN绕着点C旋转一定的角度（如图2），则上述2个结论还成立吗？

（4）若AN、MB相交于O，则∠AOB度数有没变化？若没有变化，则∠AOB= ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）△ACN≌△MCB成立，CE=CF不成立；（4）120°.

【解析】

（1）根据等边三角形性质得出AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，求出∠ACN=∠BCM，根据SAS证出△ACN≌△MCB即可；

（2）因为∠ACB=180°，∠ACM=∠BCN=60°，所以∠MCN=∠BCN，又因为△ACN≌△MCB，所以∠ABM=∠ANC，则可根据ASA判定△CEN≌△CFB，即CE=CF；

（3）由（1）的条件不变，即可证明△ACN≌△MCB成立；由于证明△CEN≌△CFB的条件不够，则CE=CF不成立；

（4）由三角形的外角性质，∠AOB=∠ONB+∠OBN，然后由∠ABM=∠ANC，则∠AOB=∠CNB+∠CBN=120°，即可.

解：（1）∵△ACM与△CBN为等边三角形，

∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=MC，BC=NC，

∴∠ACN=∠MCB

∴△ACN≌△MCB（SAS）

（2）∵∠ACB=180°，∠ACM=∠BCN=60°，

∴∠MCN=∠BCN=60°，

∵△ACN≌△MCB，

∴∠ABM=∠ANC，

∵∠MCN=∠BCN，BC=CN，∠ABM=∠ANC，

∴△CEN≌△CFB（ASA），

∴CE=CF

（3）△ACN≌△MCB成立，CE=CF不成立．（答对一个得一分）

因为所有条件都没有发生改变，即

由∠ACM=∠BCN=60°，AC=MC，BC=NC，

∴∠ACN=∠MCB

∴△ACN≌△MCB（SAS）；

因为证明△CEN≌△CFB的条件不够，

则CE=CF不成立；

（4）∠AOB度数没有发生改变，∠AOB =120°；

如上图，由三角形的外角性质，

∴∠AOB=∠ONB+∠OBN，

∵∠ABM=∠ANC，

又∠ONB=∠ANC+∠CNB，∠OBN=∠CBN-∠ABM，

∴∠AOB=∠CNB+∠CBN=120°，

故答案为：120°