Question

如图，抛物线y=

1

2

x2-x-4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．
（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设y=0，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，设x=0，则可求出C的坐标；
（2）设P（x，0）（-2＜x＜4），由PD∥AC，可得到关于PD的比例式，由此得到PD和x的关系，再求出C到PD的距离（即P到AC的距离），利用三角形的面积公式可得到S和x的函数关系，利用函数的性质即可求出三角形面积的最大值，进而得到x的值，所以PD可求，而PA≠PD，所以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．

解答：解：（1）A（4，0）、B（-2，0）、C（0，-4）；

（2）PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形，
理由如下：
设P（x，0）（-2＜x＜4），
∵PD∥AC，
∴

PD

AC

=

BP

AB

，
解得PD=

2 2

3

(x+2)，
∵C到PD的距离（即P到AC的距离）d=PA×sin450=

2

2

(4-x)，
∴△PCD的面积S=

1

2

×PD×d=

1

3

(x+2)(4-x)=-

1

3

x2+

2

3

x+

8

3

，
即S=-

1

3

(x-1)2+3，
∴△PCD面积的最大值为3，
当△PCD的面积取最大值时，x=1，PA=4-x=3，PD=

2 2

3

(x+2)=2

2

，
∵PA≠PD，
∴PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．

点评：本题考查了二次函数和坐标轴的交点问题、平行线分线段成比例定理、特殊角的锐角三角形函数值、二次函数的最值问题以及菱形的判定，题目的综合性较强，难度中等．