Question

设a₁，a₂，…，a₁₉₉₅是1，2，3…，1995的任意一种排列，求证：（1-a₁）（2-a₂）…（1995-a₁₉₉₅）
必为偶数．

Answer 1

分析：分析该题如果直接入手，没法证明，因而采用反证法．假设结果为奇数，通过已知条件，运用整数的奇偶性，推证与假设矛盾，最终问题得解．

解答：证明：假设结果为奇数
则（1-a₁），（2-a₂），…，（1995-a₁₉₉₅）必须都为奇数．
则（1-a₁）+（2-a₂）+…+（1995-a₁₉₉₅）必为奇数．
而1-a₁+2-a₂+…+1995-a₁₉₉₅是偶数
∴矛盾于假设，即（1-a₁）（2-a₂）…（1995-a₁₉₉₅）为偶数．
∴（1-a₁）（2-a₂）…（1995-a₁₉₉₅）必为偶数．

点评：本题考查整数的奇偶性问题．采用的方法是反证法，反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾．