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如图,点轴正半轴上一点,两点关于轴对称,过点任作直线交抛物线两点.

(Ⅰ)求证:∠=∠

(Ⅱ)若点的坐标为(0,1),且∠=60º,试求所有满足条件的直线的函数解析式.

 


解:(Ⅰ)如图,分别过点轴的垂线,垂足分别为.

设点的坐标为(0,),则点的坐标为(0,-).

设直线的函数解析式为,

并设的坐标分别为 ,.

  得

于是 ,即 .于是,

  …………5分

又因为,所以.

    因为∠,所以△∽△.

    故∠=∠.     …………………………………………………………10分

(Ⅱ)解法一   设,不妨设>0,

由(Ⅰ)可知

=∠==,  

所以 ==.

因为,所以△∽△.

于是,即.所以

由(Ⅰ)中,即,所以

于是,可求得 .

代入,得到点的坐标().     …………………15分

再将点的坐标代入,求得 .

所以直线的函数解析式为.

根据对称性知,

所求直线的函数解析式为,或. ………………20分

解法二  设直线的函数解析式为,其中.

由(Ⅰ)可知,∠=∠,所以.

.

代入上式,平方并整理得

,即.

所以 .

又由(Ⅰ),得.

代入上式得  从而 .

同理,若 可得 从而 .

所以,直线的函数解析式为

,或. ………………………………………20分           

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