Question

5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ACB=90°，AD=BD．
（1）求$\frac{AC+BC}{CD}$的值；
（2）已知M是弧BC的中点，AM与CD交于点N，若AC=6，⊙O的半径为5，求MN的长
（3）若AD=4$\sqrt{2}$，请直接写出AC+BC的最大值．

Answer 1

分析 （1）过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，得到四边形ECFD是矩形，求得∠ACD=∠BCD=45°，推出矩形ECFD是正方形，根据正方形的性质得到CE=CF=DF，根据勾股定理得到CD=$\sqrt{2}$CF，根据全等三角形的性质得到AE=BF，于是得到结论；
（2）如图2，设AN交BC于Q，连接BM，作QH⊥AB，NF⊥AC，由M是弧BC的中点，得到∠1=∠2，根据全等三角形的性质得到AH=AC=6，CQ=QH根据勾股定理得到CQ=QH=3，求得tan∠1=tan∠2=$\frac{1}{2}$求得PC=PN=2，AP=4于是得到结论；
（3）由（1）知，AC+BC=$\sqrt{2}$CD，由AC+BC取最大值时，CD为最大，于是得到当CD为直径时最大，即可得到结论．

解答 解：（1）过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∵AD=BD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴DE=DF，
∴矩形ECFD是正方形，
∴CE=CF=DF，
∴CD=$\sqrt{2}$CF，
在Rt△ADE与Rt△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF，
∴AE=BF，
∴AC+BC=2CF，
∴$\frac{AC+BC}{CD}$=$\sqrt{2}$；
（2）如图2，设AN交BC于Q，连接BM，作QH⊥AB，NF⊥AC，
∵M是弧BC的中点，
∴∠1=∠2，
在△ACQ与△AHQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠ACQ=∠AHQ=90°}\\{AQ=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ACQ≌△AHQ，
∴AH=AC=6，CQ=QH，
∵AC=6，AB=10，
∴BC=8，
在Rt△BQH中，BQ²=QH²+BH²，即（8-CQ）²=CQ²+（10-6）²，
∴CQ=QH=3，
∴tan∠1=tan∠2=$\frac{1}{2}$，
∴AM=4$\sqrt{5}$，
∵∠3=∠4=45°，
∴CP=PN，
∵AP=2PN=2PC，
∴6=AC=AP+PC=3PC，
∴PC=PN=2，AP=4，
∴AN=2$\sqrt{5}$，
∴MN=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$；

（3）由（1）知，AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
故AC+BC取最大值时，CD为最大，
∴当CD为直径时最大，
∵AD=4$\sqrt{2}$，
∴CD=AB=$\sqrt{2}$AD=8，
∴AC+BC的最大值是8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．