Question

18．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是边AD中点，点F在边CD上，且FE⊥BE，设BD与EF交于点G，则△DEG的面积是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 过点G作GM⊥AD于M，如图，先证明△ABE∽△DEF，利用相似比计算出DF=$\frac{1}{2}$，再利用正方形的性质判断△DGM为等腰直角三角形得到DM=MG，设DM=x，则MG=x，EM=1-x，然后证明△EMG∽△EDF，则利用相似比可计算出GM，再利用三角形面积公式计算S_△DEG即可．

解答 解：过点G作GM⊥AD于M，如图，
∵FE⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
而∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
而∠A=∠EDF，
∴△ABE∽△DEF，
∴AB：DE=AE：DF，即2：1=1：DF，
∴DF=$\frac{1}{2}$，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADB=45°，
∴△DGM为等腰直角三角形，
∴DM=MG，
设DM=x，则MG=x，EM=1-x，
∵MG∥DF，
∴△EMG∽△EDF，
∴MG：DF=EM：ED，即x：$\frac{1}{2}$=（1-x）：1，解得x=$\frac{1}{3}$，
∴S_△DEG=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$．
故答案为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．熟练运用相似比计算线段的长．