Question

9．如图：抛物线y=ax²-4ax+m与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G，连结AG．问：对称轴上是否存在点M，使△MCG的面积等于△ACG的面积．若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称轴公式计算，再利用抛物线的对称性得出点B坐标；
（2）先表示出PC，PD，BP，BC，再用△PBD∽△CBP得出$\frac{PD}{PC}$=$\frac{BP}{BC}$建立方程求解即可得出m，最后用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（3）先确定出G坐标，进而求出△ACG的面积，再设出M坐标，用面积建立方程求解即可得出点M坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-4ax+m与x轴交于A、B两点，
∴抛物线对称轴x=-$\frac{-4a}{2a}$=2，
∵点A的坐标是（1，0），
∴B（3，0）；
（2）∵抛物线y=ax²-4ax+m，
∴C（0，m），
∵CP⊥对称轴于点P，
∴P（2，m），），
∵B（3，0），
∴直线BC解析式为y=-$\frac{m}{3}$x+m，
∵BC交对称轴于点D，
∴D（2，$\frac{1}{3}$m），
∴PC=2，PD=$\frac{1}{3}$m-m=-$\frac{2}{3}$m，BP=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，BC=$\sqrt{9+{m}^{2}}$，
∵∠PBD=∠CBP．∠BPD=∠BCP，
∴△PBD∽△CBP，
∴$\frac{PD}{PC}$=$\frac{BP}{BC}$，
∴$\frac{-\frac{2}{3}m}{2}=\frac{\sqrt{1+{m}^{2}}}{\sqrt{9+{m}^{2}}}$，
∴m=$\sqrt{3}$（舍）或m=$\sqrt{3}$，
∵A（1，0）在抛物线上，
∴a-4a-$\sqrt{3}$=0，
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；
（3）存在，如图，

由（2）知，抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴G（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∵C（0，-$\sqrt{3}$）．
∴直线CG解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
∴E（$\frac{3}{2}$，0），
∴AE=OE-OA=$\frac{1}{2}$
∴S_△ACG=S_△AEG+S_△AEC=$\frac{1}{2}$AE（|y_G|+|y_C|）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$，
∵△MCG的面积等于△ACG的面积，
∴S_△MCG=S_△ACG=$\sqrt{3}$，
设点M（2，p），
∴GM=|p-$\frac{\sqrt{3}}{3}$|，
∴S_△MCG=$\frac{1}{2}$GM×|x_G|=$\frac{1}{2}$×|p-$\frac{\sqrt{3}}{3}$|×2=|p-$\frac{\sqrt{3}}{3}$|=$\sqrt{3}$，
∴p=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或p=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴M（2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）或（2，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点公式，待定系数法，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，求出m是解本题的关键，方程的思想是解决这类问题的关键．